Question

設(shè)橢圓C的左頂點(diǎn)A在拋物線y²=x-1上滑動(dòng)，長(zhǎng)軸長(zhǎng)為4，左準(zhǔn)線為y軸．
（1）求橢圓中心的軌跡方程；
（2）求橢圓離心率的最大值及此時(shí)橢圓的方程．

Answer 1

分析：（1）橢圓的中心為C（x，y），左頂點(diǎn)為A（x₀，y₀），根據(jù)A在拋物線y²=x-1上滑動(dòng)，可得方程

y

2 0

=x0-1，再利用
長(zhǎng)軸長(zhǎng)為4，左準(zhǔn)線為y軸，可得坐標(biāo)之間的關(guān)系，從而求出橢圓中心的軌跡方程；
（2）根據(jù)準(zhǔn)線方程及長(zhǎng)軸長(zhǎng)為4，可得離心率，由于x≥3，故可求離心率的最大值，從而可得橢圓方程．

解答：解：（1）設(shè)橢圓的中心為C（x，y），左頂點(diǎn)為A（x₀，y₀）
∵A在拋物線上
∴

y

2 0

=x0-1 ①
∵橢圓長(zhǎng)軸長(zhǎng)為4，左準(zhǔn)線為y軸．
∴x₀=x-2，y₀=y
代入①得y²=x-3即為所求軌跡方程．
（2）∵橢圓中心到準(zhǔn)線的距離為

a2

c

，橢圓的中心為C（x，y），左準(zhǔn)線為y軸
∴

a2

c

=x
∵a=2，
∴c=

4

x

∴e=

c

a

=

1

x

∵x≥3
∴當(dāng)x=3時(shí)，emax=

1

3

中心為C（3，0），c=

4

3

∴b2=

20

9

∴橢圓的方程為：

(x-3)2

4

+

9y2

20

=1

點(diǎn)評(píng)：本題以拋物線為載體，考查橢圓方程，考查代入法求軌跡方程，解題的關(guān)鍵是尋求動(dòng)點(diǎn)坐標(biāo)之間的關(guān)系．