Question

18．已知點P（2，-1）．
（1）若一條直線經過點P，且原點到直線的距離為2，求該直線的一般式方程；
（2）求過點P且與原點距離最大的直線的一般式方程，并求出最大距離是多少？

Answer 1

分析 （1）當l的斜率k不存在時，直接寫出直線方程；當l的斜率k存在時，設l：y+1=k（x-2），即kx-y-2k-1=0．由點到直線的距離公式求得k值，則直線方程可求；
（2）由題意可得過P點與原點O距離最大的直線是過P點且與PO垂直的直線，求出OP所在直線的斜率，進一步得到直線l的斜率，得到直線l的方程，再由點到直線的距離公式得最大距離．

解答 解：（1）①當l的斜率k不存在時，l的方程為x=2； 
②當l的斜率k存在時，設l：y+1=k（x-2），即kx-y-2k-1=0．
由點到直線距離公式得$\frac{{|{-2k-1}|}}{{\sqrt{1+{k^2}}}}=2$，得l：3x-4y-10=0．
故所求l的方程為：x=2  或  3x-4y-10=0；
（2）由題意可得過P點與原點O距離最大的直線是過P點且與PO垂直的直線，
由l⊥OP，得k_lk_OP=-1，k_l=$-\frac{1}{{{k_{op}}}}=2$，
由直線方程的點斜式得y+1=2（x-2），即2x-y-5=0．
即直線2x-y-5=0是過P點且與原點O距離最大的直線，最大距離為 $\frac{{|{-5}|}}{{\sqrt{5}}}=\sqrt{5}$．

點評 本題考查直線的點斜式方程，考查點到直線的距離公式的應用，屬中檔題．