Question

下列函數為偶函數，且在（-∞，0）上單調遞增的函數是

 

．
①f(x)=x

2

3

；②f（x）=x^-3；③f(x)=(

1

2

)|x|；④f（x）=|lgx|

Answer 1

分析：首先求出四個函數的定義域，由定義與判斷④是非奇非偶函數，然后由奇偶性定義判斷②是定義域上的奇函數，最后根據偶函數在對稱區間上具有相反的單調性說明①不正確，只有③符合是偶函數，且由復合函數的單調性判出其在（-∞，0）上單調遞增，所以答案可求．

解答：解：函數f（x）=x

2

3

的定義域是R，且在（0，+∞）上為增函數，
又f（-x）=(-x)

2

3

=x

2

3

=f（x），所以函數f（x）=x

2

3

是定義域上的偶函數，
由偶函數在對稱區間上具有相反的單調性，則在（-∞，0）上是減函數．
所以①不正確；  
函數f（x）=x^-3的定義域是{x|x≠0}，且f（-x）=（-x）^-3=-x^-3=-f（x），
所以，函數f（x）=x^-3是定義域上的奇函數．
所以②不正確；
函數f(x)=(

1

2

)|x|的定義域為R，內層函數t=g（x）=|x|在（-∞，0）上為減函數，
外層函數y=(

1

2

)t為減函數，所以函數f(x)=(

1

2

)|x|在（-∞，0）上為增函數，
又f(-x)=(

1

2

)|-x|=(

1

2

)|x|=f(x)，所以函數f(x)=(

1

2

)|x|是定義域上的偶函數．
所以③正確；
函數f（x）=|lgx|的定義域為（0，+∞），所以該函數在定義域上為非奇非偶函數．
所以④不正確．
故答案為③．

點評：本題考查了函數奇偶性的判斷，考查了基本初等函數的單調性，考查了復合函數的單調性的判斷，復合函數的單調性遵循同增異減原則，是中檔題．