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已知關于坐標軸對稱的橢圓經過兩點A(0,2)和B(
1
2
3
)

(1)求橢圓的標準方程
(2)若點P是橢圓上的一點,F1和F2是焦點,且∠F1PF2=30°,求△F1PF2的面積、
分析:(1)設經過A(0,2),B(
1
2
3
)
的橢圓標準方程為mx2+ny2=1,代入A、B得
4n=1
1
4
m+3n=1
,由此能求出橢圓方程.
(2)在橢圓x2+
y2
4
=1
中,a=2,b=1,c=
a2-b2
=
3
,由點P在橢圓上,知|PF1|+|PF2|=2a=4.由余弦定理知:|PF1|2+|PF2|2-2|PF1||PF2|cos30°=|F1F2|2=(2c)2=1,由此得(2+
3
)|PF1|•|PF2|=4,從而得到S△PF1F2=
1
2
|PF1|•|PF2|sin30°=2-
3
解答:解:(1)設經過兩點A(0,2),B(
1
2
3
)
的橢圓標準方程為
mx2+ny2=1,代入A、B得
4n=1
1
4
m+3n=1
?
m=1
n=
1
4

∴所求橢圓方程為x2+
y2
4
=1
、(5分)
(2)在橢圓x2+
y2
4
=1
中,a=2,b=1、∴c=
a2-b2
=
3

又∵點P在橢圓上,∴|PF1|+|PF2|=2a=4、①(6分)
由余弦定理知:|PF1|2+|PF2|2-2|PF1||PF2|cos30°=|F1F2|2=(2c)2=12 ②(8分)
把①兩邊平方得|PF1|2+|PF2|2+2|PF1|•|PF2|=16,③
③-②得(2+
3
)|PF1|•|PF2|=4,
∴|PF1|•|PF2|=4(2-
3
),(10分)
S△PF1F2=
1
2
|PF1|•|PF2|sin30°=2-
3
、(12分)
點評:本題考查橢圓和直線的位置關系,解題時要認真審題,仔細求解,注意公式的靈活選用.
練習冊系列答案
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(2)若點P是橢圓上的一點,F1和F2是焦點,且∠F1PF2=30°,求△F1PF2的面積、

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1
2
3
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(2)若點P是橢圓上的一點,F1和F2是焦點,且∠F1PF2=30°,求△F1PF2的面積、

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(本小題12分)

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