Question

已知關(guān)于坐標(biāo)軸對稱的橢圓經(jīng)過兩點A（0，2）和B(

1

2

，

3

)；
（1）求橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程
（2）若點P是橢圓上的一點，F(xiàn)₁和F₂是焦點，且∠F₁PF₂=30°，求△F₁PF₂的面積、

Answer 1

（1）設(shè)經(jīng)過兩點A（0，2），B(

1

2

，

3

)的橢圓標(biāo)準(zhǔn)方程為
mx²+ny²=1，代入A、B得

4n=1 1 4 m+3n=1

?

m=1 n= 1 4

，
∴所求橢圓方程為x2+

y2

4

=1、（5分）
（2）在橢圓x2+

y2

4

=1中，a=2，b=1、∴c=

a2-b2

=

3

又∵點P在橢圓上，∴|PF₁|+|PF₂|=2a=4、①（6分）
由余弦定理知：|PF₁|²+|PF₂|²-2|PF₁||PF₂|cos30°=|F₁F₂|²=（2c）²=12 ②（8分）
把①兩邊平方得|PF₁|²+|PF₂|²+2|PF₁|•|PF₂|=16，③
③-②得（2+

3

）|PF₁|•|PF₂|=4，
∴|PF₁|•|PF₂|=4（2-

3

），（10分）
∴S△PF1F2=

1

2

|PF₁|•|PF₂|sin30°=2-

3

、（12分）