Question

在△ABC中．
（1）已知sinA=cosBcosC，求證：tanC+tanB=1；
（2）求證：a²-2ab cos（60°+C）=b²-2bc cos（60°+A）．

Answer 1

分析：（1）根據A=B+C把sinA轉換成sin（A+B），進而利用兩角和公式化簡整理，等式兩邊同時除以cosBcosC，即可證明原式．
（2）先利用兩角和公式對要證的結論化簡整理可得a²-abcosC+ab

3

sinC=c²-bccosA+bc

3

sinA 再利用余弦定理分別把cosC，cosA代入整理asinC=csinA，根據正弦定理可知在三角形中此等式恒成立，進而使原式得證．

解答：解：（1）因為在三角形ABC中，sinA=cosBcosC
∴sin（B+C）=cosBcosC
即sinBcosC+cosBsinC=cosBcosC
等式兩邊同時除以cosBcosC，得

sinB

cosB

+

sinC

cosC

=1
即tanB+tanC=1，原式得證．
（2）證明：要使a²-2ab cos（60°+C）=b²-2bc cos（60°+A）．
需a²-2ab（

1

2

cosC-

1

2

3

sinC）=c²-2bc（

1

2

cosA-

3

2

sinA）
需a²-abcosC+ab

3

sinC=c²-bccosA+bc

3

sinA
需a²-

1

2

（a²+b²-c²）+ab

3

sinC=c²-

1

2

（b²+c²-a²）+bc

3

sinA
需a²-b²+c²+2ab

3

sinC=c²-b²+a²+2bc

3

sinA
需asinC=csinA
在三角形ABC中，根據正弦定理可知

a

sinA

=

c

sinC

即asinC=csinA恒成立，
所以等式得證

點評：本題主要考查了三角函數恒等式的證明，涉及了正弦定理，余弦定理，同角三角函數基本關系的應用等．考查了學生綜合分析問題和演繹推理的能力．