Question

已知函數f（x）=（a，b為實數，且a＞1）在區間[-1，1]上的最大值為1，最小值為-2．
（1）求f（x）的解析式；
（2）若函數g（x）=f（x）-mx在區間[-2，2]上為減函數，求實數m的取值范圍．

Answer 1

【答案】分析：（1）先對函數f（x）進行求導判斷其單調性后可知f（-1）=-a，f（1）=2-a，再根據函數在區間[-1，1]上的最大值為1，最小值為-2可得答案．
（2）先寫出函數g（x）的解析式，然后求導數，令導函數在區間[-2，2]小于等于0恒成立即可得到答案．
解答：解：（1）f′（x）=3x²-3ax，
令f′（x）=0，得x₁=0，x₂=a，
∵a＞1，
∴f（x）在[-1，0]上為增函數，在[0，1]上為減函數．
∴f（0）=b=1，
∵f（-1）=-a，f（1）=2-a，
∴f（-1）＜f（1），
∴f（-1）=-a=-2，a=．
∴f（x）=x³-2x²+1．
（2）g（x）=x³-2x²-mx+1，g′（x）=3x²-4x-m．
由g（x）在[-2，2]上為減函數，知g′（x）≤0在x∈[-2，2]上恒成立．
∴，即
∴m≥20．
∴實數m的取值范圍是m≥20．
點評：本題主要考查函數的單調性與其導函數正負之間的關系，即當導數大于0時原函數單調遞增，當導函數小于0時原函數單調遞減．