Question

如圖,M、N是直角梯形PABC兩腰的中點,∠BAP=90°,CD⊥PA于D,且AB=AD.現將△PDC沿DC折起,使二面角PDCA為45°,且點P在平面ABCD內的射影恰為點A,在折起后的圖形中:

(1)求證:MN⊥面PDC;

(2)求二面角B-PC-A的大小.

Answer 1

(1)證明:折疊后的圖形如圖所示.

由題可知,PA⊥面ABCD且∠PDA=45°.

取PD中點E,連接ME、AE,

∵PA⊥面ABCD,∴PA⊥CD.又∵CD⊥AD,∴CD⊥面PAD.∴CD⊥AE.

又∵∠PDA=45°,E為PD中點,PA⊥AD,∴PD⊥AE.∴AE⊥面PDC.

又∵ME∥CD∥AN,且ME=AN,∴MN∥AE.∴MN⊥面PDC.

(2)解:∵PA⊥面ABCD,

∴面PAC⊥面ABCD.過B作BO⊥AC于O,BF⊥PC于F,連接FO,∴BO⊥面PAC.

由三垂線定理的逆定理可得∠BFO為二面角BPCA的平面角,

設AB=a,可得BO=a,同(1)可證CB⊥面PAB,

∴CB⊥PB.可求BF=a,∴sin∠BFO=.

∴二面角B-PC-A的大小為60°.