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如圖,M、N是直角梯形PABC兩腰的中點,∠BAP=90°,CD⊥PA于點D,且AB=AD.現將△PDC沿DC折起,使二面角P-DC-A為45°,且點P在平面?ABCD內的射影恰為點A,在折起后的圖形中:

(1)求證:MN⊥面PDC;

(2)求二面角B-PC-A的大小.

(1)證明:折疊后的圖形如圖所示:

由題可知:PA⊥面ABCD且∠PDA=45°.

取PD中點E,連結ME、AE,∵PA⊥面ABCD,

∴PA⊥CD.又∵CD⊥AD,∴CD⊥面PAD.

∴CD⊥AE.3分,又∵∠PDA=45°,E為PD中點,PA⊥AD,

∴PD⊥AE.∴AE⊥面PDC.4分

又∵ME∥CD∥AN,且ME=AN,∴MN∥AE.∴MN⊥面PDC.

(2)解:∵PA⊥面ABCD,

∴面PAC⊥面ABCD.過B作BO⊥AC于點O,BF⊥PC于點F,連結FO,

∴BO⊥面PAC.

由三垂線定理的逆定理可得∠BFO為二面角BPCA的平面角.

設AB=a,可得BO=a,同(1)可證CB⊥面PAB,

∴CB⊥PB.可求,BF=a,∴sin∠BFO=.

∴二面角B-PC-A的大小為60°.

練習冊系列答案
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12、設M、N是直角梯形ABCD兩腰的中點,DE⊥AB于E(如圖)、現將△ADE沿DE折起,使二面角A-DE-B為45°,此時點A在平面BCDE內的射影恰為點B,則M、N的連線與AE所成角的大小等于
90°

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MN是直角梯形ABCD兩腰的中點,DEABE(如圖).現將△ADE沿DE折起,使二面角ADEB為45°,此時點A在平面BCDE內的射影恰為點B,則MN的連線與AE所成角的大小等于_________.

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MN是直角梯形ABCD兩腰的中點,DEABE (如圖). 現將沿DE折起,使二面角的大小為,此時點A在平面BCDE內的射影恰為點B,則MN的連線與AE所成角的大小為              .

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如圖,M、N是直角梯形PABC兩腰的中點,∠BAP=90°,CD⊥PA于D,且AB=AD.現將△PDC沿DC折起,使二面角PDCA為45°,且點P在平面ABCD內的射影恰為點A,在折起后的圖形中:

(1)求證:MN⊥面PDC;

(2)求二面角B-PC-A的大小.

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同步練習冊答案
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