Question

設(shè)圓上的點(diǎn)A（2，3）關(guān)于直線x+2y=0的對(duì)稱(chēng)點(diǎn)仍在圓上，且與直線x-y+1=0相交的弦長(zhǎng)為2

2

，求圓的方程．

Answer 1

分析：設(shè)出圓的方程為（x-a）²+（y-b）²=r²，由圓上的點(diǎn)關(guān)于直線的對(duì)稱(chēng)點(diǎn)還在圓上得到圓心在這條直線上，設(shè)出圓心坐標(biāo)，代入到x+2y=0中得到①；把A的坐標(biāo)代入圓的方程得到②；由圓與直線x-y+1=0相交的弦長(zhǎng)為2

2

，利用垂徑定理得到弦的一半，圓的半徑，弦心距成直角三角形，利用勾股定理得到③，三者聯(lián)立即可求出a、b和r的值，得到滿(mǎn)足題意的圓方程．

解答：解：設(shè)所求圓的圓心為（a，b），半徑為r，
∵點(diǎn)A（2，3）關(guān)于直線x+2y=0的對(duì)稱(chēng)點(diǎn)A′仍在這個(gè)圓上，
∴圓心（a，b）在直線x+2y=0上，
∴a+2b=0，①
（2-a）²+（3-b）²=r²．②
又直線x-y+1=0截圓所得的弦長(zhǎng)為2

2

，
圓心（a，b）到直線x-y+1=0的距離為d=

|a-b+1|

1+1

=

|a-b+1|

2

，
則根據(jù)垂徑定理得：r²-（

a-b+1

2

）²=（

2

）²③
解由方程①、②、③組成的方程組得：

b=-3 a=6 r2=52

或

b=-7 a=14 r2=244

∴所求圓的方程為（x-6）²+（y+3）²=52或（x-14）²+（y+7）²=244．

點(diǎn)評(píng)：此題要求學(xué)生掌握直線與圓的位置關(guān)系，靈活運(yùn)用垂徑定理及對(duì)稱(chēng)知識(shí)化簡(jiǎn)求值，是一道中檔題．學(xué)生做題時(shí)注意滿(mǎn)足題意的圓方程有兩個(gè)．