Question

設數列{a_n}的前n項和為S_n，若對于一切n∈N⁺，

Sn

S2n

=t（t為非零常數），則稱數列{a_n}為“和諧數列”，t為“和諧比”．
（Ⅰ）設數列{b_n}是首項為1，公差為2的等差數列，證明：數列{b_n}為“和諧數列”，并求出“和諧比”；
（Ⅱ）在（Ⅰ）的條件下，設c_n=b_n2bn，n∈N₊，求數列{c_n}的前n項和T_n．

Answer 1

考點：數列的求和

專題：等差數列與等比數列

分析：（1）利用等差數列的前n項和公式即可得出；
（2）利用“錯位相減法”、等比數列的前n項和公式即可得出．

解答： （1）證明：設數列{b_n}的前n項和為B_n，
∵數列{b_n}是首項為1，公差為2的等差數列，
∴B_n=n×1+

n(n-1)

2

×2=n²，B2n=4n2．
∴t=

Bn

B2n

=

n2

4n2

=

1

4

．
（2）解：由已知條件易求b_n=2n-1，
∴cn=bn.2bn=(2n-1)•22n-1
∴T_n=1×2¹+3×2³+…+（2n-1）•2^2n-1，
∴4T_n=2³+3×2⁵+…+（2n-3）•2^2n-1+（2n-1）•2²ⁿ⁺¹，
兩式相減可得：-3T_n=2+2×2³+2×2⁵+…+2×2^2n-1-（2n-1）•2²ⁿ⁺¹
=

4(4n-1)

4-1

-2-（2n-1）•2²ⁿ⁺¹
=

2

3

•22n+1-

10

3

-(2n-1)•22n+1
=(

5

3

-2n)•22n+1-

10

3

．
∴T_n=

6n-5

9

•22n+1+

10

9

．

點評：本題考查了“錯位相減法”、等差數列與等比數列的通項公式及其前n項和公式，考查了推理能力與計算能力，屬于難題．