Question

【題目】如圖，在三棱錐P﹣ABC中，PA=PC=5，PB=4，AB=BC=2 ，∠ACB=30°．

（1）求證：AC⊥PB；
（2）求三棱錐P﹣ABC的體積．

Answer 1

【答案】
（1）證明：取AC的中點D，連接PD、BD．

∵AB=BC，PA=AC，D為AC的中點，

∴PD⊥AC，BD⊥AC，

又BD平面PBD，PD平面PBD，BD∩PD=D，

∴AC⊥平面PBD．

∵PB平面PBD，

∴AC⊥PB．

（2）解：AB=BC=2 ，∠ACB=30°．

∴BD= BC= ，AD=CD= AC=3．

∴PD= =4，又PB=4，

∴△PBD是等腰三角形，作PB⊥BD于O，則O為BD的中點，

∴PO= = ．

∴S△PBD= = = ．

∴VP﹣ABC=VA﹣PBD+VC﹣PBD= S△PBD（AD+CD）= = ．

【解析】（1）取AC的中點D，連接PD、BD，利用三線合一得出PD⊥AC，BD⊥AC，于是AC⊥平面PBD，從而得出AC⊥PB；（2）計算AC，PD從而得出PB=PD，求出△PBD的面積，則VP﹣ABC= S△PBDAC．