Question

某射擊運動員為爭取獲得2010年廣州亞運會的參賽資格正在加緊訓練．已知在某次訓練中他射擊了n槍，每一槍的射擊結果相互獨立，每槍成績不低于10環的概率為p，設ξ為本次訓練中成績不低于10環的射擊次數，ξ的數學期望Eξ=

15

2

，方差Dξ=

15

8

．
（1）求n，p的值；
（2）訓練中教練要求：若有5槍或5槍以上成績低于10環，則需要補射，求該運動員在本次訓練中需要補射的概率．（結果用分數表示．已知：4¹⁰=1048576，120×3³+210×3⁴+252×3⁵=81486）

Answer 1

分析：（1）依題意知每一槍的射擊結果相互獨立，每槍成績不低于10環的概率為p，ξ服從二項分布ξ～B（n，p），根據條件中所給的期望和方差的值，代入二項分布求期望和方差的公式，解方程組得到結果．
（2）該運動員在本次訓練中需要補射表示有5槍或5槍以上成績低于10環，ξ為本次訓練中成績不低于10環的射擊次數，依題意知ξ的可能取值為：0，1，…，10，把具體數據代入公式P（ξ=k）=C_n^kp^k（1-p）^n-k（k=0，1，…，10），得到結果．

解答：解：（1）∵依題意知每一槍的射擊結果相互獨立，每槍成績不低于10環的概率為p，
∴ξ服從二項分布ξ～B（n，p）
∴Eξ=np=

15

2

①
Dξ=np(1-p)=

15

8

②
由①②聯立解得：n=10，p=

3

4

（2）該運動員在本次訓練中需要補射表示有5槍或5槍以上成績低于10環，
ξ為本次訓練中成績不低于10環的射擊次數，
依題意知ξ的可能取值為：0，1，…，10
∵P（ξ=k）=C_n^kp^k（1-p）^n-k（k=0，1，…，10）
∴P（ξ≤5）=P（ξ=0）+P（ξ=1）+P（ξ=2）+…+P（ξ=5）
=

C

0 10

(

1

4

)10+

C

1 10

3

4

(

1

4

)9++

C

5 10

(

3

4

)5(

1

4

)5
=(

1

4

)10(1+10×3+45×32+120×33+210×34+252×35)
=(

1

4

)10(1+30+405+81486)
=

81922

1048576

=

40961

524288

．
∴該運動員在本次訓練中需要補射的概率為

40961

524288

．

點評：本題是一個離散型隨機變量分布列問題時，主要依據概率的有關概念和運算，同時還要注意題目中離散型隨機變量服從什么分布，若服從特殊的分布則運算要簡單的多．