Question

已知直線l：kx-y+1+2k=0（k∈R）．
（1）證明：直線l過定點；
（2）若直線l不經過第四象限，求k的取值范圍；
（3）若直線l交x軸負半軸于點A，交y軸正半軸于點B，O為坐標原點，設△AOB的面積為S，求S的最小值及此時直線l的方程．

Answer 1

【答案】分析：（1）直線l的方程可化為y=k（x+2）+1，直線l過定點（-2，1）．
（2）要使直線l不經過第四象限，則直線的斜率和直線在y軸上的截距都是非負數，解出k的取值范圍．
（3）先求出直線在兩個坐標軸上的截距，代入三角形的面積公式，再使用基本不等式可求得面積的最小值．
解答：解：（1）直線l的方程可化為y=k（x+2）+1，
故無論k取何值，直線l總過定點（-2，1）．
（2）直線l的方程可化為y=kx+2k+1，則直線l在y軸上的截距為2k+1，
要使直線l不經過第四象限，則，
解得k的取值范圍是k≥0．

（3）依題意，直線l在x軸上的截距為-，在y軸上的截距為1+2k，
∴A（-，0），B（0，1+2k），
又-＜0且1+2k＞0，
∴k＞0，故S=|OA||OB|=×（1+2k）
=（4k++4）≥（4+4）=4，
當且僅當4k=，即k=時，取等號，
故S的最小值為4，此時直線l的方程為x-2y+4=0．
點評：本題考查直線過定點問題，直線在坐標系中的位置，以及基本不等式的應用（注意檢驗等號成立的條件）．