Question

如圖，點P在橢圓

x2

a2

+

y2

b2

=1(a＞b＞0)上，F₁、F₂分別是橢圓的左、右焦點，過點P作橢圓右準線的垂線，垂足為M，若四邊形PF₁F₂M為菱形，則橢圓的離心率是

5 -1

2

．

Answer 1

分析：根據題意，四邊形PF₁F₂M為菱形，由菱形的性質，可得PM=PF₁=F₁F₂=2c，再由橢圓的定義可得PF₂的長，結合橢圓的第二定義，有

PF2

PM

=

c

a

，代入PM與PF₂的值，化簡可得e²+e-1=0，解可得e的值，根據橢圓的性質，取舍解出的值可得答案．

解答：解：∵四邊形PF₁F₂M為菱形，
∴PM=F₁F₂=2c，且PM=PF₁=2c．
再由橢圓的定義可得PF₁+PF₂=2a，則PF₂=2a-2c．
根據橢圓的第二定義，有

PF2

PM

=e=

c

a

，則

2a-2c

2c

=

c

a

，
又由c²=a²-ac，則e²+e-1=0，
解可得e=

-1± 5

2

，
又由0＜e＜1，則e=

-1+ 5

2

=

5 -1

2

，
故答案為

5 -1

2

．

點評：本題考查橢圓的簡單性質，結合橢圓第二定義，得到關于e的關系式，是解題的關鍵．