Question

如圖，已知F₁、F₂是橢圓C：

x2

a2

+

y2

b2

=1（a＞b＞0）的左、右焦點，點P在橢圓C上，線段PF₂與圓x²+y²=b²相切于點Q，且點Q為線段PF₂的中點，則

PF1

•

PF2

=

 

；橢圓C的離心率為

 

．

Answer 1

分析：本題考察的知識點是平面向量的數量積的運算，及橢圓的簡單性質，由F₁、F₂是橢圓C：

x2

a2

+

y2

b2

=1（a＞b＞0）的左、右焦點，點P在橢圓C上，線段PF₂與圓x²+y²=b²相切于點Q，且點Q為線段PF₂的中點，連接OQ，F₁P后，我們易根據平面幾何的知識，根據切線的性質及中位線的性質得到PF₂⊥PF₁，由此易得

PF1

•

PF2

的值，并由此得到橢圓C的離心率．

解答：解：連接OQ，F₁P如下圖所示：
則由切線的性質，則OQ⊥PF₂，
又由點Q為線段PF₂的中點，O為F₁F₂的中點
∴OQ∥F₁P
∴PF₂⊥PF₁，
∴

PF1

•

PF2

=0
故|PF₂|=2a-2b，
且|PF₁|=2b，|F₁F₂|=2c，
則|F₁F₂|²=|PF₁|²+|PF₂|²
得4c²=4b²+4（a²-2ab+b²）
解得：b=

2

3

a
則c=

5

3

a
故橢圓的離心率為：

5

3

故答案為：0，

5

3

．

點評：本題涉及等量關系轉為不等關系，在與所求量有關的參量上作文章是實現轉化的關鍵，還有離心率的求解問題，關鍵是根據題設條件獲得關于a，b，c的關系式，最后化歸為a，c（或e）的關系式，利用方程求解．