Question

定義：同時滿足下列兩個條件的數(shù)列{a_n} 叫做“上凸有界數(shù)列”，①

an+an+2

2

≤an+1②a_n≤M，M是與n無關(guān)的常數(shù)．
（I）若數(shù)列{a_n} 的前n項(xiàng)和為S_n，且S_n=2ⁿ-1，試判斷數(shù)列{a_n} 是否為上凸有界數(shù)列；
（Ⅱ）若數(shù)列{b_n}是等差數(shù)列，T_n為其前n項(xiàng)和，且b₃=4，T₃=18，試證明：數(shù)列{T_n}為上凸有界數(shù)列．

Answer 1

（I）n=1時，a₁=s₁=2-1=1
n≥2時a_n=s_n-s_n-1=2ⁿ-1-（2^n-1-1）=2^n-1
∴a_n=2^n-1
顯然a_n=2^n-1是遞增數(shù)列，故不存在常數(shù)M，使a_n≤M成立
∴數(shù)列{a_n} 不是上凸有界數(shù)列
（II）設(shè){b_n}的公差為d，則

b1+2d=4 3b1+ 3×2 2 d=18

解得b₁=8，d=-2
∴T_n=8n+

n(n-1)

2

(-2)=-n²+9n
∵

Tn+Tn+2

2

-Tn+1=

(Tn+2-Tn+1)-(Tn+1-Tn)

2

=

bn+2-bn+1

2

=

d

2

=-1＜0
∴

Tn+Tn+2

2

≤Tn+1，即{T_n}滿足條件①
又T_n=-n²+9n=-（n-

9

2

）²+

81

4

當(dāng)n=4或5時T_n取最大值20，即T_n≤20，滿足條件②
綜上數(shù)列{T_n}為上凸有界數(shù)列