Question

定義：同時滿足下列兩個條件的數列{a_n} 叫做“上凸有界數列”，①

an+an+2

2

≤an+1②a_n≤M，M是與n無關的常數．
（I）若數列{a_n} 的前n項和為S_n，且S_n=2ⁿ-1，試判斷數列{a_n} 是否為上凸有界數列；
（Ⅱ）若數列{b_n}是等差數列，T_n為其前n項和，且b₃=4，T₃=18，試證明：數列{T_n}為上凸有界數列．

Answer 1

分析：（I）利用公式a_n=

s1       (n=1) sn-sn-1 (n≥2)

求得數列{a_n}的通項公式，易知此數列不滿足條件②
（II）設設{b_n}的公差為d的公差為d，列方程求得首相和公差，得{b_n}的通項公式，進而求和得T_n，利用作差法可證的滿足條件①，利用數列的函數性質，可證得滿足條件②

解答：解：（I）n=1時，a₁=s₁=2-1=1
n≥2時a_n=s_n-s_n-1=2ⁿ-1-（2^n-1-1）=2^n-1
∴a_n=2^n-1
顯然a_n=2^n-1是遞增數列，故不存在常數M，使a_n≤M成立
∴數列{a_n} 不是上凸有界數列
（II）設{b_n}的公差為d，則

b1+2d=4 3b1+ 3×2 2 d=18

解得b₁=8，d=-2
∴T_n=8n+

n(n-1)

2

(-2)=-n²+9n
∵

Tn+Tn+2

2

-Tn+1=

(Tn+2-Tn+1)-(Tn+1-Tn)

2

=

bn+2-bn+1

2

=

d

2

=-1＜0
∴

Tn+Tn+2

2

≤Tn+1，即{T_n}滿足條件①
又T_n=-n²+9n=-（n-

9

2

）²+

81

4

當n=4或5時T_n取最大值20，即T_n≤20，滿足條件②
綜上數列{T_n}為上凸有界數列

點評：本題綜合考查了數列通項公式的求法，數列求和的方法以及數列的函數性質