Question

定義：同時(shí)滿足下列兩個(gè)條件的數(shù)列{a_n} 叫做“上凸有界數(shù)列”，①②a_n≤M，M是與n無(wú)關(guān)的常數(shù)．
（I）若數(shù)列{a_n} 的前n項(xiàng)和為S_n，且S_n=2ⁿ-1，試判斷數(shù)列{a_n} 是否為上凸有界數(shù)列；
（Ⅱ）若數(shù)列{b_n}是等差數(shù)列，T_n為其前n項(xiàng)和，且b₃=4，T₃=18，試證明：數(shù)列{T_n}為上凸有界數(shù)列．

Answer 1

【答案】分析：（I）利用公式a_n=求得數(shù)列{a_n}的通項(xiàng)公式，易知此數(shù)列不滿足條件②
（II）設(shè)設(shè){b_n}的公差為d的公差為d，列方程求得首相和公差，得{b_n}的通項(xiàng)公式，進(jìn)而求和得T_n，利用作差法可證的滿足條件①，利用數(shù)列的函數(shù)性質(zhì)，可證得滿足條件②
解答：解：（I）n=1時(shí)，a₁=s₁=2-1=1
n≥2時(shí)a_n=s_n-s_n-1=2ⁿ-1-（2^n-1-1）=2^n-1
∴a_n=2^n-1
顯然a_n=2^n-1是遞增數(shù)列，故不存在常數(shù)M，使a_n≤M成立
∴數(shù)列{a_n} 不是上凸有界數(shù)列
（II）設(shè){b_n}的公差為d，則

解得b₁=8，d=-2
∴T_n=8n+=-n²+9n
∵====-1＜0
∴，即{T_n}滿足條件①
又T_n=-n²+9n=-（n-）²+
當(dāng)n=4或5時(shí)T_n取最大值20，即T_n≤20，滿足條件②
綜上數(shù)列{T_n}為上凸有界數(shù)列
點(diǎn)評(píng)：本題綜合考查了數(shù)列通項(xiàng)公式的求法，數(shù)列求和的方法以及數(shù)列的函數(shù)性質(zhì)