Question

已知圓滿(mǎn)足：
①截y軸所得弦長(zhǎng)為2；
②被x軸分成兩段圓弧，其弧長(zhǎng)的比為.
求在滿(mǎn)足條件①②的所有圓中，使代數(shù)式取得最小值時(shí)，圓的方程．

Answer 1

，或

試題分析：由①②，根據(jù)直線與圓相交時(shí)，半徑、半弦與弦心距的關(guān)系，得到參數(shù)的關(guān)系式，從而可把代數(shù)式化成關(guān)于或的一元二次函數(shù)，求出這個(gè)二次函數(shù)的最值及取得最值時(shí)相對(duì)應(yīng)的的值，最后確定圓的方程.
試題解析：如下圖所示，圓心坐標(biāo)為P(a，b)，半徑為r，則點(diǎn)P到x軸，y軸的距離分別為|b|，|a|.

∵圓P被x軸分成兩段圓弧，其弧長(zhǎng)的比為3：1，
∴.
取AB的中點(diǎn)D，連接PD，
則有，∴.
取圓P截y軸的弦的中點(diǎn)C，連接PC，PE.
∵圓截y軸所得弦長(zhǎng)為2，
∴，∴，
即.
則＝.
∴當(dāng)b＝1時(shí)，取得最小值2，
此時(shí)a＝1，或a＝－1，r²＝2.
對(duì)應(yīng)的圓為：，
或.
∴使代數(shù)式取得最小值時(shí)，對(duì)應(yīng)的圓為
，或.