Question

已知f（x）對一切實數x，y都有f（x+y）=f（x）+f（y），f（1）=2，當x＞0時，f（x）＜0
（1）證明f（x）為奇函數；
（2）證明f（x）為R上的減函數；
（3）解不等式f（x-1）-f（1-2x-x²）＜4．

Answer 1

分析：（1）取x=y=0有f（0）=0，取y=-x可得，f（-x）=-f（x）；
（2）設x₁＜x₂，則x₂=x₁+（x₂-x₁），由條件可得f（x₁）-f（x₂）=-f（x₂-x₁）＞0，從而可得結論；
（3）依題意有f（2）=f（1）+f（1）=4，f（x-1）-f（1-2x-x²）＜4可化為f（x-1）＜f（3-2x-x²），利用函數的單調性脫掉函數“外衣”，解不等式即可．

解答：（1）證明，依題意取x=y=0有f（0）=2f（0），
∴f（0）=0，…1分
又取y=-x可得f（x-x）=f（x）+f（-x）=f（0）（x∈R），即f（x）+f（-x）=0（x∈R）
∴f（-x）=-f（x）（x∈R）…3分
由x的任意性可知f（x）為奇函數…4分
（2）證明：設x₁＜x₂，則x₂=x₁+（x₂-x₁），…5分
∴f（x₁）-f（x₂）=f（x₁）-f[x₁+（x₂-x₁）]=f（x₁）-[f（x₁）+f（x₂-x₁）]=-f（x₂-x₁）…7分
∵x₂-x₁＞0，∴f（x₂-x₁）＜0，
∴f（x₁）-f（x₂）＞0，即f（x₁）＞f（x₂），
∴f（x）為R上的減函數；
（3）依題意有f（2）=f（1）+f（1）=4…9分
∴不等式可化為f（x-1）-f（1-2x-x²）＜f（2），即f（x-1）＜f（1-2x-x²）+f（2），
∴f（x-1）＜f（3-2x-x²），…10分
∵f（x）為R上的減函數，
∴x-1＞3-2x-x²解得x＜-4或x＞1…11分
∴不等式的解集為：{x|x＜-4或x＞1}…12分

點評：本題考查抽象函數及其應用，考查函數的奇偶性與單調性及解不等式，賦值法是解決抽象函數的常用方法，（3）中4=f（2）的轉化是利用單調性脫掉函數符號的關鍵，屬于中檔題．