Question

直線x+y=n（n∈N⁺）與x軸y軸所圍成區域內部（不包括邊界）的整點個數為a_n，所圍成區域內部（包括邊界）的整點個數為b_n，（整點就是橫坐標，縱坐標都為整數的點）
（Ⅰ）求a₃和b₃的值；
（Ⅱ）求a_n及b_n的表達式；
（Ⅲ）對a_n個整點用紅黃藍白四色之一著色，其方法總數為A_n，對b_n個整點用紅黃兩色之一著色，其方法總數為B_n，試比較A_n與B_n的大小

Answer 1

【答案】分析：（Ⅰ）欲求a₃和b₃的值，只需令n=3時，找出滿足條件的點，即可得到．
（Ⅱ）通過探討各直線上的點和區域內部的點的個數，即可求得a_n及b_n的表達式；
（Ⅲ）由（Ⅱ）的結論求出A_n，B_n，利用作商法比較大小．
解答：解：（Ⅰ）n=3時，直線x=0上有（0，0）（0，1）（0，2）（0，3）4個點，直線x=1上有（1，0）（1，1）（1，2）3個點，
直線x=2上有（2，0）（2，1）2個點，直線x=3上有（3，0）1個點，所以a₃=1，b₃=4+3+2+1=10
（Ⅱ）n=1時，b₁=3，a₁=0
n=2時，b₁=6，a₂=0
當n≥3時，b_n=（n+1）+n+（n-1）+…+2+1=
a_n=b_n-3（n+1）+3=
當n=1，2時也滿足
所以a_n=，b_n=（n∈N^*_）
（Ⅲ）對于a_n個整點中的每一個點都有4種著色方法，故A_n=
對于b_n個整點中的每一個點都有2種著色方法，故B_n=
∴===
當n=1，2，3，4，5，6，7，8時A_n＜B_n
當n≥9且n∈N^*時，A_n＞B_n
點評：本題是個中檔題，主要考查了數列遞推式，同時考查了作商比較大小的方法，注意分類討論的思想的應用．