Question

已知f（x）為一次函數，f[f（1）]=-1，f（x）的圖象關于直線x-y=0的對稱的圖象為C，若點(n，

an+1

an

) (n∈N*)在曲線C上，并有a₁=1，

an+1

an

-

an

an-1

=1 (n≥2)．
（1 ） 求f（x）的解析式及曲線C的方程；
（2）求數列{a_n}的通項公式；
（3）設Sn=

a1

3!

+

a2

4!

+

a3

5!

+…+

an

(n+2)!

，對于一切n∈N^*，都有S_n＞m成立，求自然數m的最大值．

Answer 1

分析：（1）設f（x）=kx+b（k≠0），所以f[f（1）]=k²+kb+b=-1．因為f（x）的圖象關于直線x-y=0的對稱為C，所以曲線C為：f^-1（x）=

x

k

-

b

k

，故f^-1（n）-f^-1（n-1）=

1

k

．由此能夠推導出f（x）的解析式及曲線C的方程．
（2）由f^-1（n）=

an+1

an

，知

an+1

an

=n+1，由此能夠求出數列{a_n}的通項公式．
（3）由

an

(n+2)!

=

n!

(n+2)!

=

1

(n+2)(n+1)

=

1

n+1

-

1

n+2

，知S_n=

a1!

3!

+

a2!

4!

+

a3!

5!

+…+

an!

(n+2)!

=（

1

2

-

1

3

）+（

1

3

-

1

4

）+…+（

1

n+1

-

1

n+2

）=

1

2

-

1

n+2

．由此能夠求出自然數m的最大值0．

解答：解：（1）設f（x）=kx+b（k≠0），
∴f[f（1）]=k²+kb+b=-1．①
因為f（x）的圖象關于直線x-y=0的對稱為C，
∴曲線C為：f^-1（x）=

x

k

-

b

k

，
∴f^-1（n）=

n

k

-

b

k

，
f^-1（n-1）=

n-1

k

-

b

k

，
f^-1（n）-f^-1（n-1）=

1

k

．
又點（n，

an+1

an

）（n∈N^*）在曲線C上，
∴f^-1（n）=

an+1

an

②
f^-1（n-1）=

an

an-1

，
∴f^-1（n）-f^-1（n-1）=

an+1

an

-

an

an-1

=1，
∴k=1，b=-1．
∴f（x）=x-1，
曲線C：y=x+1
（2）由②f^-1（n）=

an+1

an

，
∴

an+1

an

=n+1，
∴

an

an-1

•

an-1

an-2

•…•

a3

a2

•

a2

a1

=n（n-1）…3•2=n!
∵a₁=1，
∴a_n=n!
（3）∵

an

(n+2)!

=

n!

(n+2)!

=

1

(n+2)(n+1)

=

1

n+1

-

1

n+2

∴S_n=

a1!

3!

+

a2!

4!

+

a3!

5!

+…+

an!

(n+2)!

=（

1

2

-

1

3

）+（

1

3

-

1

4

）+…+（

1

n+1

-

1

n+2

）=

1

2

-

1

n+2

∵0＜

1

n+2

≤

1

3

，

1

6

≤

1

2

-

1

n+2

＜

1

2

，
∴S_n的最小值為

1

6

．
∴m＜

1

6

，因而自然數m的最大值是0．

點評：本題考查數列與函數據綜合，解題時要認真審題，仔細解答，注意挖掘題設中的隱含條件，合理地進行等價轉化．