Question

直線x+y=n(n∈N^*)與x軸、y軸所圍成區(qū)域內(nèi)部（不包括邊界）的整點個數(shù)為a_n，所圍成區(qū)域內(nèi)部（包括邊界）的整點個數(shù)為b_n，（整點就是橫坐標(biāo)，縱坐標(biāo)都為整數(shù)的點）

（Ⅰ）求a₃和b₃的值；

（Ⅱ）求a_n及b_n的表達(dá)式；

（Ⅲ）對a_n個整點用紅、黃、藍(lán)、白四色之一著色，其方法總數(shù)為A_n，對b_n個整點用紅、黃兩色之一著色，其方法總數(shù)為B_n，試比較A_n與B_n的大小.

Answer 1

解：（Ⅰ）n=3時，直線x=0上有點（0，0）（0，1）（0，2）（0，3），直線x=1上有點（1，0）（1，1）（1，2），直線x=2上有點（2，0）（2，1），直線x=3上有點（3，0），所以a₃=1,b₃=4+3+2+1=10.

（Ⅱ）解：n=1時，b₁=3,a₁=0,n=2時，b₁=6,a₂=0,

    當(dāng)n≥3時，b_n=(n+1)+n+(n-1)+…+2+1=,a_n=b_n-3(n+1)+3=,

    當(dāng)n=1,2時也滿足

    所以a_n=,b_n=(n∈N^*).

（Ⅲ）對于a_n個整點中的每一個點都有4種著色方法，故A_n=

    對于b_n個整點中的每一個點都有2種著色方法，故B_n=

==.

    當(dāng)n=1,2,3,4,5,6,7,8時A_n＜B_n,

    當(dāng)n≥9且n∈N^*時，A_n＞B_n.