Question

6．如圖，平行四邊形ABCD中，點E在線段AD上，BE與AC交于點F，設$\overrightarrow{AB}=a，\overrightarrow{AD}=b$．
（I）若E為AD的中點，用向量$\overrightarrow{a}，\overrightarrow{b}$表示$\overrightarrow{CE}+\overrightarrow{BE}$；
（II）用向量的方法探究：在線段AD上是否存在點E，使得點F恰好為BE的一個三等分點，若有，求出滿足條件的所有點E的位置；若沒有，說明理由．

Answer 1

分析 （1）根據向量的線性運算，用向量$\overrightarrow{a}，\overrightarrow{b}$分別表示出$\overrightarrow{CE}$，$\overrightarrow{BE}$．
（2）根據F的位置結合向量共線進行分類討論，聯立方程組求解．

解答 （本小題滿分12分）
解：（I）$\overrightarrow{AB}=a，\overrightarrow{AD}=b$．
∴$\overrightarrow{CE}=\overrightarrow{CD}+\overrightarrow{DE}$=$-\overrightarrow{a}-\frac{1}{2}\overrightarrow{b}$，…（2分）
$\overrightarrow{BE}=\overrightarrow{BA}+\overrightarrow{AE}$=$-\overrightarrow{a}+\frac{1}{2}\overrightarrow{b}$，…（4分）
∴$\overrightarrow{CE}+\overrightarrow{BE}=-2\overrightarrow{a}$；…（6分）
（II）不妨設在線段AD上有滿足條件的點E，則$\overrightarrow{AE}=λ\overrightarrow{b}$（0≤λ≤1）
（1）若$\overrightarrow{BF}=\frac{1}{3}\overrightarrow{BE}$，則$\overrightarrow{BF}=\frac{1}{3}（-\overrightarrow{a}+\frac{1}{3}λ\overrightarrow{b}）$，
∴$\overrightarrow{AF}=\overrightarrow{AB}+\overrightarrow{BF}$=$\frac{2}{3}\overrightarrow{a}+\frac{1}{3}λ\overrightarrow{b}$…（7分）
又$\overrightarrow{AC}=\overrightarrow{a}+\overrightarrow{b}$，
且$\overrightarrow{AC}$與$\overrightarrow{AF}$是共線向量，則$\overrightarrow{AF}=μ\overrightarrow{AC}$
∴$\frac{2}{3}\overrightarrow{a}+\frac{1}{3}λ\overrightarrow{b}=μ（\overrightarrow{a}+\overrightarrow{b}）$…（8分）
∵$\overrightarrow{a}，\overrightarrow{b}$是不共線的向量，
∴$\left\{\begin{array}{l}{\frac{2}{3}=μ}\\{\frac{1}{3}λ=μ}\end{array}\right.$∴$\left\{\begin{array}{l}{λ=2}\\{μ=\frac{2}{3}}\end{array}\right.$
此時λ=2與0≤λ≤1矛盾，舍去；…（9分）
（2）若$\overrightarrow{BF}=\frac{2}{3}\overrightarrow{BE}$，則$\overrightarrow{BF}=\frac{2}{3}（-\overrightarrow{a}+λ\overrightarrow{b}）$，
∴$\overrightarrow{AF}=\overrightarrow{AB}+\overrightarrow{BF}=\frac{1}{3}\overrightarrow{a}+\frac{2}{3}λ\overrightarrow{b}$…（10分）
又$\overrightarrow{AC}=\overrightarrow{a}+\overrightarrow{b}$，
且$\overrightarrow{AC}$與$\overrightarrow{AF}$是共線向量，則$\overrightarrow{AF}=μ\overrightarrow{AC}$
∴$\frac{1}{3}\overrightarrow{a}+\frac{2}{3}λ\overrightarrow{b}=μ（\overrightarrow{a}+\overrightarrow{b}）$…（11分）
∵$\overrightarrow{a}，\overrightarrow{b}$是不共線的向量，
∴$\left\{\begin{array}{l}{\frac{1}{3}=μ}\\{\frac{2}{3}λ=μ}\end{array}\right.$，∴$\left\{\begin{array}{l}{λ=\frac{1}{2}}\\{μ=\frac{1}{3}}\end{array}\right.$
此時滿足0≤λ≤1，
故滿足條件的點E是存在的，它是線段AD的中點．…（12分）

點評 考查平面向量基本定理，平面向量線性運算，共線問題．考查分類討論思想．根據向量共線構造方程組，是解決問題的關鍵．屬于難題．