Question

16．已知a，b為實數，函數f（x）=x²+ax+1，且函數y=f（x+1）是偶函數，函數g（x）=-b•f（f（x+1））+（3b-1）•f（x+1）+2在區間（-∞，-2]上的減函數，且在區間（-2，0）上是增函數
（1）求函數f（x）的解析式；
（2）求實數b的值；
（3）設h（x）=f（x+1）-2qx+1+2q，問是否存在實數q，使得h（x）在區間[0，2]上有最小值為-2？若存在，求出q的值；若不存在，說明理由．

Answer 1

分析 （1）利用函數y=f（x+1）是偶函數，求函數f（x）的解析式；
（2）利用復合函數的單調性，求實數b的值；
（3）分類討論，求出函數的最小值，利用h（x）在區間[0，2]上有最小值為-2，得出結論．

解答 解：（1）∵函數y=f（x+1）是偶函數，
∴（x+1）²+a（x+1）+1=（-x+1）²+a（-x+1）+1，
∴4x+2ax=0，
∴a=-2，
∴f（x）=（x-1）²；
（2）g（x）=-b•f（f（x+1））+（3b-1）•f（x+1）+2=-bx⁴+（5b-1）x²+2-b，
令t=x²，u（t）=-bt²+（5b-1）t-（b-2），
在區間（-∞，-2]上，t=x²是減函數，且t∈[4，+∞），由g（x）是減函數，可知u（t）為增函數；
在區間（-2，0）上，t=x²是減函數，且t∈（0，4），由g（x）是增函數，可知u（t）為減函數，
∴由u（t）在（0，4）上是減函數，（4，+∞）上是增函數，
可得二次函數開口向上，b＜0，且-$\frac{5b-1}{-2b}$=4，∴b=-$\frac{1}{3}$；
（3）h（x）=f（x+1）-2qx+1+2q=x²=2qx+2q，x∈[0，2]．
q＜0，y_min=h（0）=1+2q=-2，q=-$\frac{3}{2}$；
0≤q≤2，y_min=h（q）=-q²+2q+1=-2，∴q=3或-1，舍去；
q＞2，y_min=h（2）=-2q+5=-2，q=$\frac{7}{2}$，
綜上所述，q=-$\frac{3}{2}$或$\frac{7}{2}$．

點評 本題考查函數的性質，考查函數解析式的求解，考查學生的最值，正確分類討論是關鍵．