Question

（2012•濟南二模）已知中心在原點O，焦點F₁、F₂在x軸上的橢圓E經過點C（2，2），且拋物線y²=-4

6

x的焦點為F₁．
（Ⅰ）求橢圓E的方程；
（Ⅱ）垂直于OC的直線l與橢圓E交于A、B兩點，當以AB為直徑的圓P與y軸相切時，求直線l的方程和圓P的方程．

Answer 1

分析：（Ⅰ）設出橢圓E的方程，根據橢圓E經過點C（2，2），且拋物線y²=-4

6

x的焦點為F₁，結合a²=b²+c²，即可求得橢圓E的方程；
（Ⅱ）設直線l的方程y=-x+m代入橢圓E方程，可得3x²-4mx+2m²-12=0，利用韋達定理可得圓P的圓心與半徑，利用圓P與y軸相切時，即可確定m的值，由此可求直線l的方程和圓P的方程．

解答：解：（Ⅰ）設橢圓E的方程為

x2

a2

+

y2

b2

=1(a＞b＞0)，…（1分）
則

4

a2

+

4

b2

=1，①…（2分）
∵拋物線y2=-4

6

x的焦點為F₁，∴c=

6

②…（3分）
又a²=b²+c²  ③
由①、②、③得a²=12，b²=6…（5分）
所以橢圓E的方程為

x2

12

+

y2

6

=1…（6分）
（Ⅱ）依題意，直線OC斜率為1，由此設直線l的方程為y=-x+m，…（7分）
代入橢圓E方程，得3x²-4mx+2m²-12=0．…（8分）
由△=16m²-12（2m²-12）=8（18-m²），得m²＜18．…（9分）
記A（x₁，y₁）、B（x₂，y₂），則x₁+x₂=

4m

3

，x₁x₂=

2m2-12

3

…（10分）
圓P的圓心為(

x1+x2

2

，

y1+y2

2

)，
半徑r=

2

2

|x1-x2|=

2

2

(x1+x2)2-4x1x2

…（1分）
當圓P與y軸相切時，r=|

x1+x2

2

|，則2x₁x₂=

(x1+x2)2

4

，
即

2(2m2-12)

3

=

4m2

9

，m²=9＜18，m=±3…（12分）
當m=3時，直線l方程為y=-x+3，此時，x₁+x₂=4，圓心為（2，1），半徑為2，圓P的方程為（x-2）²+（y-1）²=4；…（13分）
同理，當m=-3時，直線l方程為y=-x-3，圓P的方程為（x+2）²+（y+1）²=4…14 分

點評：本題考查橢圓的標準方程，考查直線與橢圓的位置關系，考查韋達定理的運用，考查直線與圓的位置關系，正確確定圓心與半徑是關鍵．