Question

下列函數是偶函數且在區間（0，1）上是增函數的是（　　）

• A、y=cosx
• B、y=|x+1|
• C、y=ln

  2+x

  2-x

• D、y=e^x+e^-x

Answer 1

分析：根據選項逐個分析即得答案，A．y=cosx是偶函數，在[0，

π

2

]上是減函數；B．y=|x+1|不是偶函數；C．y=ln

2+x

2-x

根據偶函數的定義可得，它不是偶函數；D．根據偶函數的定義可判定其是偶函數，利用導數研究其在區間（0，1）上的單調性．

解答：解：A．∵y=cosx是偶函數，在[0，

π

2

]上是減函數，∴y=cosx在區間（0，1）上是減函數，故A不正確；
B．y=|x+1|的圖象是有y=|x|相左平移一個單位而得到，而函數y=|x|是偶函數，故y=|x+1|不是偶函數，故B不正確；
C．y=ln

2+x

2-x

的定義域為（-2，2），且ln

2-x

2+x

+ln

2+x

2-x

=0，∴y=ln

2+x

2-x

是奇函數，不是偶函數，故C不正確；
D．易證y=e^x+e^-x是偶函數，y′=e^x-e^-x

e2x-1

ex

＞0，x∈（0，1），
∴y=e^x+e^-x在區間（0，1）上是增函數．
故選D．

點評：考查基本初等函數的奇偶性和單調性，以及圖象的變換，和利用導數研究函數的單調性，綜合性較強，屬基礎題．