Question

已知函數．
（Ⅰ）若函數在區間上存在極值，求實數的取值范圍；
（Ⅱ）如果當時，不等式恒成立，求實數的取值范圍，并且判斷代數式的大小．

Answer 1

（Ⅰ）；（Ⅱ）

解析試題分析：（Ⅰ）先對函數求導，求出函數的極值，根據函數在區間上存在極值，
所以 從而解得（Ⅱ）不等式恒成立問題轉化為求函數的最值問題，根據不等式的性質比較的大小．
試題解析：
解：（Ⅰ）因為，，則，         （1分）
當時，；當時，.
所以在上單調遞增；在上單調遞減，
所以函數在處取得極大值.                  （2分）
因為函數在區間上存在極值，
所以 解得                  （4分）
（Ⅱ）不等式即為 記，
所以.          （5分）
令，則，
，，
在上單調遞增，
，從而，
故在上也單調遞增，所以
所以.                        （7分）
由上述知恒成立，即， 
令，則，
∴ ，，， ，
，                     （9分）
疊加得
.
則，
所以．                 （12分）
考點：函數與導數，函數極值與最值，不等式恒成立問題，不等式的性質．