Question

已知函數f（x）=-

2

sin（2x+

π

4

）+6sinxcosx-2cos²x+1，x∈R．
（Ⅰ）求f（x）的最小正周期；
（Ⅱ）求f（x）的單調遞增區間．

Answer 1

考點：三角函數的周期性及其求法,兩角和與差的正弦函數,正弦函數的單調性

專題：三角函數的圖像與性質

分析：（Ⅰ）將函數進行化簡，根據三角函數的周期公式即可求f（x）的最小正周期；
（Ⅱ）根據三角函數的單調性即可求f（x）的單調遞增區間．

解答： 解：（Ⅰ）f（x）=-

2

sin（2x+

π

4

）+6sinxcosx-2cos²x+1=2sin2x-2cos2x=2

2

sin（2x-

π

4

），
則求f（x）的最小正周期T=

2π

2

=π；
（Ⅱ）由2kπ-

π

2

≤2x-

π

4

≤2kπ+

π

2

，k∈Z，
解得kπ-

π

8

≤x≤kπ+

3π

8

，k∈Z，
故f（x）的單調遞增區間[kπ-

π

8

，kπ+

3π

8

]．k∈Z．

點評：本題主要考查三角函數的周期和單調區間的求解，利用三角函數的三角公式將函數化簡是解決本題的關鍵．