Question

【題目】已知函數(shù)（其中為自然對數(shù)的底數(shù)，）.

（1）若是函數(shù)的極值點(diǎn)，求的值，并求的單調(diào)區(qū)間；

（2）若時都有，求實數(shù)的取值范圍.

Answer 1

【答案】（1）；的單調(diào)遞減區(qū)間為，單調(diào)遞增區(qū)間為；

（2）

【解析】

（1）由極值點(diǎn)可知，從而求得；根據(jù)導(dǎo)函數(shù)的正負(fù)即可確定的單調(diào)區(qū)間；

（2）求導(dǎo)后得到導(dǎo)函數(shù)；當(dāng)和時，可根據(jù)導(dǎo)函數(shù)正負(fù)確定單調(diào)遞增，從而，滿足題意；當(dāng)時，由零點(diǎn)存在定理可知存在，使得時，，由單調(diào)性可知不恒成立；從而得到所求范圍.

（1）由得：定義域為，

是的極值點(diǎn) ，解得：

此時，

當(dāng)時，，單調(diào)遞減；當(dāng)時，，單調(diào)遞增

的單調(diào)遞減區(qū)間為，單調(diào)遞增區(qū)間為

（2），

①當(dāng)時，恒成立 單調(diào)遞增 ，滿足題意

②當(dāng)時，是上的增函數(shù)，且

若，即，則且不恒等于

單調(diào)遞增 ，滿足題意

若，即，，

存在，使得

當(dāng)時，，則單調(diào)遞減

即不恒成立，不合題意

綜上所述：實數(shù)的取值范圍為