Question

19．雙曲線與橢圓有共同的焦點F₁（-5，0），F₂（5，0），點P（4，3）是雙曲線的漸近線與橢圓的一個交點，求雙曲線與橢圓的方程．

Answer 1

分析 先利用雙曲線與橢圓有共同的焦點F₁（-5，0），F₂（5，0），設出對應的雙曲線和橢圓方程，再利用點P（4，3）適合雙曲線的漸近線和橢圓方程，就可求出雙曲線與橢圓的方程．

解答 解：由共同的焦點F₁（-5，0），F₂（5，0），
可設橢圓方程為$\frac{{x}^{2}}{{a}^{2}}$+$\frac{{y}^{2}}{{a}^{2}-25}$=1，雙曲線方程為$\frac{{x}^{2}}{^{2}}$-$\frac{{y}^{2}}{25-^{2}}$=1，
點P（4，3）在橢圓上，$\frac{16}{{a}^{2}}$+$\frac{9}{{a}^{2}-25}$=1，a²=40，
雙曲線的過點P（4，3）的漸近線為y=$\frac{3}{4}$x，
分析有$\frac{25-^{2}}{^{2}}$=$\frac{9}{16}$，計算可得b²=16．
所以橢圓方程為：$\frac{{x}^{2}}{40}$+$\frac{{y}^{2}}{15}$=1；
雙曲線方程為：$\frac{{x}^{2}}{16}$-$\frac{{y}^{2}}{9}$=1．

點評 本題考查雙曲線與橢圓的標準方程的求法．在求雙曲線與橢圓的標準方程時，一定要先分析焦點所在位置，再設方程，避免出錯．