Question

20．已知橢圓C的中心在原點O，焦點在x軸上，離心率為$\frac{1}{2}$，右焦點到右頂點的距離為1．
（Ⅰ）求橢圓C的標準方程；
（Ⅱ）是否存在與橢圓C交于A，B兩點的直線l：y=kx+m（k∈R），使得$\overrightarrow{OA}$•$\overrightarrow{OB}$=0成立？若存在，求出實數m的取值范圍，若不存在，請說明理由．

Answer 1

分析 （Ⅰ）由題意設出橢圓的標準方程，并得到a，c的關系，聯立求得a，c的值，結合隱含條件求得b，則橢圓方程可求；
（Ⅱ）聯立直線方程和橢圓方程，利用根與系數的關系及判別式求得滿足$\overrightarrow{OA}$•$\overrightarrow{OB}$=0成立的直線l：y=kx+m存在．

解答 解：（Ⅰ）設橢圓C的方程為$\frac{{x}^{2}}{{a}^{2}}+\frac{{y}^{2}}{{b}^{2}}=1$ （a＞b＞0），半焦距為c．
依題意$e=\frac{c}{a}=\frac{1}{2}$，由右焦點到右頂點的距離為1，得a-c=1，解得c=1，a=2．
∴b²=a²-c²=3．
∴橢圓C的標準方程是$\frac{{x}^{2}}{4}+\frac{{y}^{2}}{3}=1$．
（Ⅱ）存在直線l，使得$\overrightarrow{OA}$•$\overrightarrow{OB}$=0成立．理由如下：
由$\left\{\begin{array}{l}{y=kx+m}\\{\frac{{x}^{2}}{4}+\frac{{y}^{2}}{3}=1}\end{array}\right.$，得（3+4k²）x²+8kmx+4m²-12=0．
△=（8km）²-4（3+4k²）（4m²-12）＞0，化簡得3+4k²＞m²．
設A（x₁，y₁），B（x₂，y₂），
則${x}_{1}+{x}_{2}=-\frac{8km}{3+4{k}^{2}}$，${x}_{1}{x}_{2}=\frac{4{m}^{2}-12}{3+4{k}^{2}}$．
若$\overrightarrow{OA}$•$\overrightarrow{OB}$=0，則x₁x₂+y₁y₂=0，即x₁x₂+（kx₁+m）（kx₂+m）=0，
得$（1+{k}^{2}）{x}_{1}{x}_{2}+km（{x}_{1}+{x}_{2}）+{m}^{2}=0$，即$（1+{k}^{2}）•\frac{4{m}^{2}-12}{3+4{k}^{2}}-km•\frac{8km}{3+4{k}^{2}}+{m}^{2}=0$，
化簡得，7m²=12+12k²，將${k}^{2}=\frac{7}{12}{m}^{2}-1$代入3+4k²＞m²中，得$3+4×（\frac{7}{12}{m}^{2}-1）＞{m}^{2}$，解得${m}^{2}＞\frac{3}{4}$．
又由7m²=12+12k²≥12，得${m}^{2}≥\frac{12}{7}$，即$m≥\frac{2}{7}\sqrt{21}$或$m≤-\frac{2}{7}\sqrt{21}$．
∴實數m的取值范圍是：（-∞，$-\frac{2}{7}\sqrt{21}$]∪[$\frac{2}{7}\sqrt{21}$，+∞）．

點評 本題考查橢圓標準方程的求法，考查了橢圓的簡單性質，訓練了直線與橢圓位置關系的應用，體現了“設而不求”的解題思想方法，是中檔題．