Question

4．求適合下列條件的圓錐曲線的標準方程．
（1）a=$\sqrt{6}$，b=1，焦點在x軸上的橢圓；
（2）與雙曲線$\frac{x^2}{16}$-$\frac{y^2}{4}$=1有相同焦點，且經過點（3$\sqrt{2}$，2）的雙曲線．

Answer 1

分析 （1）由焦點在x軸上的橢圓的標準方程，即可得到；
（2）求得已知雙曲線的焦點，設所求雙曲線的標準方程為$\frac{{x}^{2}}{{a}^{2}}$-$\frac{{y}^{2}}{{b}^{2}}$=1（a，b＞0），由題意可得a²+b²=20，$\frac{18}{{a}^{2}}$-$\frac{4}{{b}^{2}}$=1，解方程可得a，b，進而得到所求雙曲線的標準方程．

解答 解：（1）由a=$\sqrt{6}$，b=1，焦點在x軸上的橢圓，
可得橢圓方程為$\frac{{x}^{2}}{6}$+y²=1；
（2）設所求雙曲線的標準方程為$\frac{{x}^{2}}{{a}^{2}}$-$\frac{{y}^{2}}{{b}^{2}}$=1（a，b＞0），
由雙曲線$\frac{x^2}{16}$-$\frac{y^2}{4}$=1的焦點為（±2$\sqrt{5}$，0），
可得c=2$\sqrt{5}$，即a²+b²=20，
又經過點（3$\sqrt{2}$，2），可得$\frac{18}{{a}^{2}}$-$\frac{4}{{b}^{2}}$=1，
解方程可得a=2$\sqrt{3}$，b=2$\sqrt{2}$．
則所求雙曲線的方程為$\frac{{x}^{2}}{12}$-$\frac{{y}^{2}}{8}$=1．

點評 本題考查圓錐曲線的方程的求法，注意運用圓錐曲線的幾何性質，考查運算能力，屬于基礎題．