Question

【題目】已知函數在上有最大值1和最小值0，設.

(1)求的值；

(2)若不等式在上有解，求實數的取值范圍；

(3)若方程 (為自然對數的底數)有三個不同的實數解，求實數的取值范圍.

Answer 1

【答案】(1) 的值分別為1、0.(2) .(3) .

【解析】試題分析：

(1)由題意得到關于實數m,n的方程組，求解方程組可得的值分別為1、0.

(2)由題意換元，令，結合換元之后的不等式的解集可得實數的取值范圍是.

(3) 記，原問題等價于，求解不等式組可得實數的取值范圍是.

試題解析：

（1），當時， 在上是增函數，∴，

即，解得，

當時， ，無最大值和最小值；

當時， 在上是減函數，∴，即，解得，

∵，∴舍去.

綜上， 的值分別為1、0.

（2）由（1）知，∴在上有解等價于

在上有解，

即在上有解，令，則，

∵，∴，記，∵，∴，

∴的取值范圍為.

（3）原方程可化為，令，則，

由題意知有兩個不同的實數解 ， ，

其中， 或， ，

記，則得.