Question

拋物線y=x²+4x上一點P處的切線的傾斜角為45°，切線與x，y軸的交點分別是A，B，則△AOB的面積為    ．

Answer 1

【答案】分析：由題意和導數的幾何意義求出點P的坐標，再求出切線方程，然后求出A、B兩點的坐標，進而可求長度及直線AB的方程，再求原點到AB得距離即為三角形邊AB上的高，再代入三角形的面積公式求解．
解答：解：設點P的坐標為（x，y），
由題意，y'=2x+4且過P點的切線的斜率k=tan45°=1，
∴由導數的幾何意義得，1=2x+4，x=-；代入y=x²+4x解得，y=-，
∴P的坐標為（-，-），
∴過P點的切線的方程為y+=x+，即x-y-=0，
令y=0，x=，令x=0，y=-；∴A（，0），B（0，-）
∴|AB|==，直線AB的方程為x-y-=0；
∴點O（0，0）到直線AB的方程得距d==，
∴△AOB的面積S=×|AB|×d=．故答案為：．
點評：本題考查了根據導數的幾何意義如何求切點和切線方程，還有直線方程及三角形的面積求法，是一道好題．