Question

拋物線y=x²-4x+3及其在點A（1，0）和B（3，0）處的兩條切線所圍成圖形的面積為（　　）

• A．

  2

  3

• B．

  4

  3

• C．2
• D．

  8

  3

Answer 1

分析：欲求切線的方程，只須求出其斜率的值即可，故先利用導數求出在切點處的導函數值，再結合A（1，0），B（3，0）都在拋物線上，即可求出切線的方程，然后可得直線與拋物線的交點的坐標和兩切線與x軸交點的坐標，最后根據定積分在求面積中的應用公式即可求得所圍成的面積S即可．

解答：解：對y=x²-4x+3求導可得，y′=2x-4
∴拋物線y=x²-4x+3及其在點A（1，0）和B（3，0）處的兩條切線的斜率分別為-2，2
從而可得拋物線y=x²-4x+3及其在點A（1，0）和B（3，0）處的兩條切線方程分別為
l₁：2x+y-2=0，l₂：2x-y-6=0
（2）由

y=-2x+2 y=2x-6

可得交點P（2，-2）
S=

∫

2 1

[（x²-4x+3）-（-2x+2）]dx+

∫

3 2

[（x²-4x+3）-（2x-6）]dx
=

∫

2 1

（x²-2x+1）dx+

∫

3 2

(x2-6x+9)dx
=（

1

3

x3-x²+x））

|

2 1

+

1

3

x3-3x²+9

x|

3 2

=

2

3

故選A

點評：本小題主要考查直線的斜率、導數的幾何意義、利用導數研究曲線上某點切線方程、定積分在求面積中的應用等基礎知識，考查運算求解能力．屬于基礎題．