Question

（2013•太原一模）已知橢圓C：

x2

a2

+

y2

b2

=1(a＞0b＞0)的離心率為

1

2

，點(diǎn)F₁，F(xiàn)₂分別是橢圓C的左，右焦點(diǎn)，以原點(diǎn)為圓心，橢圓C的短半軸為半徑的圓與直線 x-y+

6

=0相切．
（I）求橢圓C的方程；
（Ⅱ）若過點(diǎn)F₂的直線l與橢圓C相交于點(diǎn)M，N兩點(diǎn)，求使△F_l MN面積最大時(shí)直線l的方程．

Answer 1

分析：（I）由離心率為

1

2

，得

c

a

=

1

2

，根據(jù)圓與直線相切可得b=

6

1+1

，再由a²=b²+c²聯(lián)立可解得a，b；
（Ⅱ）設(shè)直線l的方程為x=my+1，M（x₁，y₁），N（x₂，y₂），聯(lián)立直線l方程與橢圓方程消掉x得y的二次方程，則S△F1MN=

1

2

|F1F2||y1-y2|=

(y1+y2)2-4y1y2

，代入韋達(dá)定理即可得關(guān)于m的函數(shù)表達(dá)式，恰當(dāng)變形后，利用函數(shù)單調(diào)性求得其最大值及相應(yīng)m值；

解答：解：（I）由題意得

e= c a = 1 2 b= 6 1+1 a2=b2+c2

，解得

a=2 b= 3 c=1

，
所以橢圓C的標(biāo)準(zhǔn)方程為

x2

4

+

y2

3

=1；
（Ⅱ）由題意可設(shè)直線l的方程為x=my+1，設(shè)M（x₁，y₁），N（x₂，y₂），則點(diǎn)M、N的坐標(biāo)是方程組

x=my+1 x2 4 + y2 3 =1

的兩組解，
消掉x得，（3m²+4）y²+6my-9=0，所以

△＞0 y1+y2= -6m 3m2+4 y1y2= -9 3m2+4

，
所以S△F1MN=

1

2

|F1F2||y1-y2|=

(y1+y2)2-4y1y2

=

12 m2+1

3m2+4

=

12

3m2+4 m2+1

=

12

3 m2+1 + 1 m2+1

≤

12

4

=3（當(dāng)且僅當(dāng)m=0時(shí)取等號），
所以當(dāng)m=0時(shí)，S_△ABC取最大值，此時(shí)直線l的方程為x=1．

點(diǎn)評：本題考查直線方程、橢圓方程及直線和橢圓、圓的位置關(guān)系，考查三角形面積公式，考查學(xué)生分析解決問題的能力．