Question

【題目】已知點，，點為曲線上任意一點且滿足

（1）求曲線的方程；

（2）設曲線與 軸交于兩點，點是曲線上異于的任意一點，直線分別交直線：于點，試問軸上是否存在一個定點，使得？若存在，求出點的坐標；若不存在，請說明理由.

Answer 1

【答案】（1）；（2）存在點使得成立.

【解析】

（1）設P（x，y），由|PA|=2|PB|，得=2，由此能求出曲線的方程．

（2）由題意得M(0，1)，N(0，-1)，設點R(x0，y0)，（x0≠0），由點R在曲線上，得=1，直線RM的方程，從而直線RM與直線y=3的交點為，直線RN的方程為，從而直線RN與直線y=3的交點為，假設存在點S(0，m)，使得成立，則，由此能求出存在點S，使得成立，且S點的坐標為.

（1）設，由，

得：，

整理得.

所以曲線的方程為.

（2）由題意得，，.

設點，由點在曲線上，

所以.

直線的方程為，

所以直線與直線的交點為.

直線的方程為

所以直線與直線的交點為.

假設存在點，使得成立，

則，.

即，

整理得.

因為，

所以，

解得.

所以存在點使得成立，且點的坐標為.