Question

（本小題滿分13分）如圖，點M（）在橢圓（a＞b＞0）上，且點M到兩焦點的距離之和為4.

（1）求橢圓方程；

（2）設與MO（O為坐標原點）垂直的直線交橢圓于A、B（A、B不重合），求的取值范圍.

 

Answer 1

（1）；（2）[－）.

【解析】

試題分析：（1）先由已知得到a，在利用P點在橢圓上求出b，得到橢圓方程；（2）根據MO⊥AB，得到直線AB的斜率，利用直線AB與橢圓有兩個公共點，得到AB在y軸上截距m的范圍，然后將向量用截距表示，進而求出取值范圍.

試題解析：（1）由已知，2a＝4，∴a＝2

又點M（）在橢圓（a＞b＞0）上，

∴，解得b2＝2

所求橢圓方程為.

（2）kOM＝，∴kAB＝－

設直線AB的方程為y＝－x＋m

聯立方程，消去y得

13x2－4mx＋2m2－4＝0

△＝（4m）2－4×13（2m2－4）＝8（12m2－13m2＋26）＞0

∴m2＜26

設A（x1，y1），B（x2，y2）

則x1＋x2＝，x1x2＝

＝x1x2＋y1y2＝7x1x2－m（x1＋x2）＋m2＝

結合0≤m2＜26，可得的取值范圍是[－）

考點：橢圓標準方程，直線與橢圓位置關系，兩直線垂直，平面向量數量積，范圍