Question

函數(shù)f（x）=

1

3

x3-

nx2

2

+x(x∈R，n∈N*)．
（1）函數(shù)f（x）是否存在極值點(diǎn)？若存在，分別求出其極大值點(diǎn)與極小值點(diǎn)，不存在說明理由；
（2）若x_n+1=f′(xn)，且xn≥n+2，求證：

1

1+x1

+

1

1+x2

+…+

1

1+xn

＜

1

2

．

Answer 1

分析：（1）先求導(dǎo)函數(shù)，進(jìn)而研究導(dǎo)數(shù)為0方程的根的情況，當(dāng)△≤0時(shí)，不存在極值點(diǎn)；當(dāng)△＞0時(shí)存在極值點(diǎn)；
（2）先表示出x_n+1，進(jìn)而可得不等關(guān)系，由此可確定0＜

1

1+xn

≤(

1

2

)n+1，從而得證．

解答：解：（1）f′（x）=x²-nx+1
△=n²-4，n∈N*
①當(dāng)n=1，2時(shí)，不存在極值點(diǎn)
②當(dāng)n≥3，n∈N*時(shí)，存在極值點(diǎn)，又f′(x)=0的根為

n± n2-4

2

極大值點(diǎn)為x=

n- n2-4

2

，極小值點(diǎn)為x=

n+ n2-4

2

（2）xn+1=

x

2 n

-nxn+1=(xn-

n

2

)2+1-

n2

4

xn≥n+2＞

n

2

＞0⇒x_n+1≥（n+2）x_n-nx_n+1⇒x_n+1≥2x_n+1⇒x_n+1+1≥2（x_n+1）＞0⇒0＜

1

xn+1+1

≤

1

2(xn+1)

，又0＜

1

x1+1

≤

1

4

⇒0＜

1

1+xn

≤(

1

2

)n+1⇒

1

1+x1

+

1

1+x2

+…+

1

1+xn

≤

1

22

+

1

23

+…+

1

2n+1

=

1 4 (1- 1 2n )

1- 1 2

=

1

2

-

1

2n+1

＜

1

2

點(diǎn)評(píng)：本題以函數(shù)為載體，考查函數(shù)的極值，考查導(dǎo)數(shù)的運(yùn)用，有一定的綜合性．