Question

設函數f（x）=

1

3

x-lnx（x＞0），則y=f（x）（　　）

• A、在區間（

  1

  e

  ，1），（l，e）內均有零點
• B、在區間（

  1

  e

  ，1），（l，e）內均無零點
• C、在區間（

  1

  e

  ，1）內無零點，在區間（l，e）內有零點
• D、在區間（

  1

  e

  ，1）內有零點，在區間（l，e）內無零點

Answer 1

分析：先對函數f（x）進行求導，再根據導函數的正負情況判斷原函數的增減性可得答案．

解答：解：由題得f′(x)=

x-3

3x

，令f′（x）＞0得x＞3；
令f′（x）＜0得0＜x＜3；f′（x）=0得x=3，
故知函數f（x）在區間（0，3）上為減函數，在區間（3，+∞）為增函數，
在點x=3處有極小值1-ln3＜0；又f(1)=

1

3

＞0，f(e)=

e

3

-1＜0，f(

1

e

)=

1

3e

+1＞0．
故選C．

點評：本題主要考查導函數的增減性與原函數的單調性之間的關系．即當導函數大于0時原函數單調遞增，當導函數小于0時原函數單調遞減．