Question

設函數f（x）=

1

3

x-lnx，則y=f（x）

 

．（填寫正確命題的序號）
①在區間（

1

e

，1），（1，e）內均有零點； ②在區間（

1

e

，1）內有零點，在區間（1，e）內無零點；
③在區間（

1

e

，1），（1，e）內均無零點； ④在區間（

1

e

，1）內無零點，在區間（1，e）內有零點．

Answer 1

分析：根據所給的四個命題中所提到兩個區間的端點對應的數字，做出三個數字對應的函數值，觀察兩個端點的函數值的符號是否相反，根據零點的判定定理得到結果．

解答：解：根據題意，f′（x）=

x-3

3x

，
令f′（x）=0得x=3，
故知函數f（x）在區間（0，3）上為減函數，在區間（3，+∞）為增函數，
在點x=3處有極小值1-ln3＜0；
∵f（

1

e

）=

1

3e

+1＞0，
f（1）=

1

3

＞0，
f（e）=

e

3

-1＜0，
則f（x）在（1，e）內有零點，在區間（

1

e

，1）內無零點，
故答案為：④

點評：本題考查函數零點，本題解題的關鍵是看出函數在幾個點對應的函數值的符號，本題是一個基礎題．