Question

若函數(shù)f(x)是R上的增函數(shù),且恒有f(x)＞0,設F(x)=.利用函數(shù)的單調性定義證明函數(shù)F(x)是R上的減函數(shù).

Answer 1

思路解析:利于單調性定量化定義證明的關鍵是推證F(x₁)和F(x₂)的大小.

證明:在區(qū)間R上任意選取x₁,x₂,且x₁＜x₂.∵f(x)是區(qū)間R上的增函數(shù),

∴f(x₁)＜f(x₂).又∵f(x)＞0,∴0＜f(x₁)＜f(x₂).∴＞＞0,即F(x₁)＞F(x₂).∴函數(shù)F(x)= 是R上的增函數(shù).

誤區(qū)警示

在利用函數(shù)單調性的定量化定義證明函數(shù)的單調性時,雖然“作差”是我們比較大小的一種重要且常用的方法,但是,“作差”也僅是我們比較大小的一種手段,而不是目的,比較大小才是我們的目的.因此,比較大小不一定“作差”,還可以利用不等式的性質比較大小,以及“作商”等方法.