Question

已知函數f（x）=

-x2+ 1 2 x(x＜0) ex-1(x≥0)

，若函數y=f（x）-kx有3個零點，則實數k的取值范圍是

 

．

Answer 1

考點：函數零點的判定定理,分段函數的應用

專題：函數的性質及應用

分析：由f（0）=ln1=0，可得：x=0是函數y=f（x）-kx的一個零點；當x＜0時，由f（x）=kx，得-x²+

1

2

x=kx，解得x=

1

2

-k，由x=

1

2

-k＜0，可得：k＞

1

2

；當x＞0時，函數f（x）=e^x-1，由f'（x）∈（1，+∞），進而可得k＞1；綜合討論結果，可得答案．

解答： 解：∵函數f（x）=

-x2+ 1 2 x(x＜0) ex-1(x≥0)

，
∴f（0）=ln1=0，
∴x=0是函數y=f（x）-kx的一個零點，
當x＜0時，由f（x）=kx，
得-x²+

1

2

x=kx，
即-x+

1

2

=k，解得x=

1

2

-k，
由x=

1

2

-k＜0，解得k＞

1

2

，
當x＞0時，函數f（x）=e^x-1，
f'（x）=e^x∈（1，+∞），
∴要使函數y=f（x）-kx在x＞0時有一個零點，
則k＞1，
∴k＞1，
即實數k的取值范圍是（1，+∞），
故答案為：（1，+∞）

點評：本題考查的知識點是函數零點及零點的個數，二次函數的圖象和性質，指數型函數的圖象和性質，難度中檔．