Question

已知數(shù)列的前項(xiàng)和為，且，對任意，都有.
（1）求數(shù)列的通項(xiàng)公式；
（2）若數(shù)列滿足，求數(shù)列的前項(xiàng)和.

Answer 1

（1）；（2）.

試題分析：（1）解法1是在的條件下，由得到，將兩式相減得，經(jīng)化簡得，從而得出數(shù)列為等差數(shù)列，然后利用等差數(shù)列的通項(xiàng)公式求出數(shù)列的通項(xiàng)公式；解法2是利用代入遞推式得到，經(jīng)過化簡得到，在兩邊同時(shí)除以得到，從而得到數(shù)列為等差數(shù)列，先求出數(shù)列的通項(xiàng)公式，進(jìn)而求出的表達(dá)式，然后利用與之間的關(guān)系求出數(shù)列的通項(xiàng)公式；（2）解法1是在（1）的前提下求出數(shù)列的通項(xiàng)公式，然后利用錯(cuò)位相減法求數(shù)列的和；解法2是利用導(dǎo)數(shù)以及函數(shù)和的導(dǎo)數(shù)運(yùn)算法則，將數(shù)列的前項(xiàng)和視為函數(shù)列的前項(xiàng)和在處的導(dǎo)數(shù)值，從而求出.
試題解析：（1）解法1：當(dāng)時(shí)，，，
兩式相減得，
即，得.當(dāng)時(shí)，，即.
數(shù)列是以為首項(xiàng)，公差為的等差數(shù)列..
解法2：由，得，
整理得，，兩邊同除以得，.
數(shù)列是以為首項(xiàng)，公差為的等差數(shù)列...
當(dāng)時(shí)，.
又適合上式，數(shù)列的通項(xiàng)公式為；
（2）解法1：由（1）得.
，.
，①
，②
①②得.
.
解法2：由（1）得.，.
，①
由，
兩邊對取導(dǎo)數(shù)得，.
令，得.
.