Question

已知函數
（1）試判斷f（x）的單調性，并說明理由；
（2）若恒成立，求實數k的取值范圍；
（3）求證：[（n+1）!]²＞（n+1）•e^n-2，（n∈N^*）．

Answer 1

（1）解：求導函數，可得=
∵x≥1，∴lnx≥0，∴f′（x）≤0，
∴函數f（x）在[1，+∞）上單調減
∴函數f（x）的單調減區間是[1，+∞）．
（2）解：不等式，即為，記，
所以，
令h（x）=x-lnx，則，
∵x≥1，∴h′（x）≥0．
∴h（x）在[1，+∞）上單調遞增，∴[h（x）]min=h（1）=1＞0，
從而g′（x）＞0
故g（x）在[1，+∞）上也單調遞增，
∴[g（x）]_min=g（1）=2，所以k≤2
（3）證明：由（2）知：恒成立，即，
令x=n（n+1），則，
所以，，，…，．
疊加得：ln[1×2²×3²×…×n²×（n+1）]=
則1×2²×3²×…×n²×（n+1）＞e^n-2，
所以[（n+1）!]²＞（n+1）•e^n-2，（n∈N^*）．
分析：（1）求導函數，根據函數的定義域，即可確定函數的單調性；
（2）如果當x≥1時，不等式恒成立，把k分離出來，再利用導數法確定函數的單調性，再求出函數最值即可；
（3）由（2）可得，令x=n（n+1），則，寫出n個式子，疊加即可證明結論．
點評：本題考查應用導數研究函數的極值最值問題，考查不等式的證明，有關恒成立的問題一般采取分離參數，轉化為求函數的最值問題，體現了轉化的思想方法．