Question

已知函數
（1）試判斷函數的單調性并加以證明；
（2）當f（x）＜a恒成立時，求實數a的取值范圍．

Answer 1

解：（1）函數的定義域為R，
函數f（x）在R上是增函數，
設x₁，x₂是R內任意兩個值，并且x₁＜x₂
則==…（5分）
∵x₁＜x₂∴
∴．
即∴f（x₁）＜f（x₂）
∴f（x）是R上的增函數．…（7分）
（2）
∵2^x＞0∴2^x+1＞1
∴，
∴，
∴
即-1＜f（x）＜1…（10分）
當f（x）＜a恒成立時，a≥1…（12分）
分析：（1）可得函數的定義域為R，再利用單調性的定義，按照取值、作差、變形、定號下結論的步驟進行正面；
（2）將函數整理為，從而可求出函數的值域，進而可確定實數a的取值范圍．
點評：本題以函數為載體，考查單調性的判斷與證明，考查函數的值域，考查恒成立問題，屬于中檔題．