Question

已知函數
（1）試判斷函數f（x）的單調性；
（2）設m＞0，求f（x）在[m，2m]上的最大值；
（3）試證明：對?n∈N^*，不等式．

Answer 1

【答案】分析：（1）利用商的求導法則求出所給函數的導函數是解決本題的關鍵，利用導函數的正負確定出函數的單調性；
（2）利用導數作為工具求出函數在閉區間上的最值問題，注意分類討論思想的運用；
（3）利用導數作為工具完成該不等式的證明，注意應用函數的最值性質．
解答：解：（1）函數f（x）的定義域是：（0，+∞）
由已知
令f′（x）=0得，1-lnx=0，∴x=e
∵當0＜x＜e時，，
當x＞e時，
∴函數f（x）在（0，e]上單調遞增，在[e，+∞）上單調遞減，

（2）由（1）知函數f（x）在（0，e]上單調遞增，在[e，+∞）上單調遞減
故①當0＜2m≤e即時，f（x）在[m，2m]上單調遞增
∴，
②當m≥e時，f（x）在[m，2m]上單調遞減
∴，
③當m＜e＜2m，即時
∴．

（3）由（1）知，當x∈（0，+∞）時，，
∴在（0，+∞）上恒有，
即且當x=e時“=”成立，
∴對?x∈（0，+∞）恒有，
∵，
∴
即對?n∈N^*，不等式恒成立．
點評：本題考查導數在函數中的應用問題，考查函數的定義域思想，考查導數的計算，考查導數與函數單調性的關系，考查函數的最值與導數的關系，注意問題的等價轉化性．