Question

已知f（x）=2x，數(shù)列{a_n}滿足a_n+1+f（n+1）=2[a_n+f（n+1）-2]，且a₁=1，則它的通項(xiàng)公式是（　　）

• A、a_n=

  3n2-7n+6

  2

• B、a_n=

  3n-2n+3

  4

• C、a_n=

  2n+1+n2-5n+2

  2

• D、a_n=3•2^n-1-2n

Answer 1

考點(diǎn)：數(shù)列遞推式

專題：計(jì)算題,等差數(shù)列與等比數(shù)列

分析：由f（x）=2x及a_n+1+f（n+1）=2[a_n+f（n+1）-2]，得a_n+1=2a_n+2n-2，設(shè)a_n+1+x（n+1）+y=2（a_n+xn+y），整理得a_n+1=2a_n+xn+y-x，易求x=2，y=0，從而可判斷{a_n+2n}為首項(xiàng)為a₁+2=3，公比為2的等比數(shù)列，進(jìn)而可求答案．

解答：解：由f（x）=2x及a_n+1+f（n+1）=2[a_n+f（n+1）-2]，得a_n+1=2a_n+2n-2，
設(shè)a_n+1+x（n+1）+y=2（a_n+xn+y），整理得a_n+1=2a_n+xn+y-x，
∴x=2，y-x=-2，則y=0，
∴有a_n+1+2（n+1）=2（a_n+2n），即{a_n+2n}為首項(xiàng)為a₁+2=3，公比為2的等比數(shù)列，
∴a_n+2n=3•2^n-1，a_n=3•2^n-1-2n，
故選D．

點(diǎn)評(píng)：本題考查由數(shù)列遞推式求數(shù)列通項(xiàng)，屬中檔題，通過(guò)待定系數(shù)構(gòu)造等比數(shù)列是該題的解題關(guān)鍵，要認(rèn)真體會(huì)．